Что такое высоты?

Резюме: Это третья часть работы, посвященной понятию «высота». Первая часть рассматривает референц-эллипсоиды и средний уровень моря. Во второй части обсуждается физическая интерпретация высот. В этой, третьей части  - раскрываются принципиальные понятия высот, а именно измеряемых и вычисляемых по измененным превышениям и ортометрических высот, ортометрические высоты по Гельмерту, нормальные высоты, динамические высоты и геопотенциальные числа. Также мы будем более углубленно, чем в предыдущей части, обсуждать геоид.

Введение.

Принято две основных трактовки слова «высота» - в геометрической и физической интерпретации. Это два очень отличных друг от друга понятия. Разница между ними и привела к образованию различных типов высот: ортометрических, геометрических и смешанных. С точки зрения использования, каждый из типов высот имеет свои преимущества и недостатки.

Высоты.

Нивелирование.

Нивелирование  - процесс, в результате которого может быть получена разница между высотами двух точек (путем, передачи превышения с задней точки на переднюю).      Предположим, линия нивелирования соединяет две точки – А и В, как это показано на рис. 3.1. Если две точки достаточно сильно удалены, нивелирный ход состоять из нескольких секций (станций), и превышение будет складываться из элементарных приращений превышения δv.
Любая пара точек будет иметь два геопотенциальных числа, разность которых будет равняться потенциалу силы тяжести, т.е. работе по перемещению из точки в точку. Также высоту каждой из точек характеризует геометрическое вертикальное расстояние между двумя уровенными поверхностями вдоль отвесной линии (δН_B,i )


Рисунок 3.1. Сопоставление элементарных разностей превышений с различием ортометрической высоты. Высота, определенная нивелированием есть сумма , ортометрическая высота есть сумма   Они не одинаковы, поскольку уровенные поверхности (С) не параллельны.

Теперь докажем, что по сути – дифференциальное (геометрическое) нивелирование не позволяет получить ортометрические высоты. На рис. 3.1. изображены точки А и В, соответственно, их геопотенциальные числа:C_A и C_B, а ортометрические высоты: H_A и H_B.  Уровенные поверхности, не параллельны .
Из этого следует, что . Разность высот между точками А и В, определенная методом нивелирования  - это сумма . Поскольку же , а ортометрическая высота В может быть представлена как , следовательно, .
Согласно одному из определений,

Здесь g – сила тяжести, W – потенциал силы тяжести, Н  - ортометрическая высота. Несложные преобразования позволяют получить следующее равенство: . Вспомним о том, что и   по сути своей являются разностью потенциалов, тогда:
, здесь g’  - значение силы тяжести вдоль отвесной линии.
Мы знаем, что   из-за непараллельности уровенных поверхностей, но разность потенциалов   в этих точках будет одинакова, следовательно, должна отличаться сила тяжести по поверхности  нивелирования вдоль отвесной линии. Это следует из уравнения Хайсканена и Морица:

Из уравнения следует, что сумма элементарных превышений и сумма элементарных ортометрических высот отличаются по причине (поверхности силы тяжести различны вдоль отвесной линии геопотенциала) непараллельности уровенных поверхностей.

Это значит, что строго говоря, две различных трассы нивелирования, начатые и законченные на одних и тех же реперах дадут различные значения превышений. Происходит это потому, что две линии нивелирования пройдут через точки с разным рельефом, соответственно – разными уровенными поверхностями. Сумма измеренных превышений не является величиной однозначной, т.е. результат нивелирования будет зависеть от пути нивелирования.
Резюмируем. Высоты, полученные, из элементарных превышений:
- есть результат непосредственно измерений
- неоднозначны, если учитывать неоднородность гравитационного поля
- теоретически не обеспечат замыкания полигонов
- не определяют уровенные поверхности. То есть они не определяют поверхности в математическом смысле.

Ортометрические высоты.

Согласно определению Heiskanen and Moritz: «Ортометрические высоты  - это высоты над уровнем моря в натуральной системе координат», т.е. высоты над поверхностью геоида. Таким образом, ортометрические высоты в физическом и геометрическом определении имеют разный смысл. NGS дает определение ортометрическим высотам, как «расстояние между геоидом и измеряемой точкой, положительное вдоль силовой линии». Силовая линия  - это линия, перпендикулярная к уровенным поверхностям поля силы тяжести Земли.
 С одной стороны – ортометрические высоты – это чисто геометрическое понятие  – они представляют из себя линию определенной кривизны (отвесную линию). Однако, по определению, эта линия перпендикулярна к уровенным поверхностям во всех точках, так что ее форма зависит от положения уровенных поверхностей. Так что ортометрические высоты тесно связаны с гравитационным полем, не смотря на то, что являются величиной геометрической.
Как связаны ортометрические высоты с потенциалом? Выражение (3.1) гласит, что .
Используя дифференциалы вместо конечных разностей и перестроя получим  .
Памятуя о том, что геопотенциальные число – это разность потенциалов на поверхности геоида Wo и в точке А: W_A, C_A=W₀-W_A, так что:
(3.3)
В данном случае, g  - не константа. Уравнение (3.3) может быть использовано для получения желательного соотношения . Предполагается, что геопотенциальные число равно ортометрической высоте, деленное на среднее значение ускорения силы тяжести на отвесной линии
Если ортометрические высоты однозначны, логично предположить, что точки, в которых ортометрические. К сожалению, это не так, ведь в этом случае, в точках на одной уровенной поверхности значение g было бы одинаковым. Однако ускорение силы тяжести зависит от высоты, широты точки, от распределения масс на учитываемом участке поверхности; ускорение силы тяжести не является константой – ни по модулю, ни по направлению. Нет причин, по которым среднее (интегральное) значение силы тяжести  было одинаковым в двух точках, и, как правило, оно имеет разные значения. Таким образом, две с равной ортометрической высотой и обладают равными геопотенциальными числами.  
   

Рисунок 3.2. Уровенные поверхности, проходящие через гору: (a) изображение горы без каких- либо поверхностей. (b) отображена только одна произвольная уровенная поверхность. Линия пересечения уровенной Рис. 3.2. Четыре интерпретации нескольких геопотенциальных поверхностей вокруг и через воображаемую гору. (a) изображение горы без каких либо геопотенциальных поверхностей. (b) Для простоты изображения гору пересекает только одна произвольная геопотенциальная поверхность. Линия пересечения геопотенциальной поверхности склона горы будет линия равных потенциалов, но не линией равных высот (не горизонталью). (c) Гору пересекают две геопотенциальные поверхности. Следует заметить, что поверхности не параллельны и что они волнистые внутри района. (d) Через гору проходит множество геопотенциальных поверхностей. Чем дальше они от поверхности Земли, тем меньше выражена их кривизна. (автор рисунка Ivan Ortega, Office of Communication and Information Technology, UConn College of Agriculture and Natural Resources)
горы будет линия равных потенциалов, но не линией равных высот (не горизонталью). (c) Гору пересекают две геопотенциальные поверхности. Следует заметить, что поверхности не параллельны и обладают кривизной. (d) Через гору проходит множество уровенных  поверхностей. Чем дальше они от поверхности Земли, тем меньше выражена их кривизна. (автор рисунка Ivan Ortega, Office of Communication and Information Technology, UConn College of Agriculture and Natural Resources)

На рисунке  3.2., изображена гора и проходящие через нее уровенные поверхности. Часть (b) показывает гору, через которую проходит одна уровенная поверхность. Во всех точках уровенной поверхности значения потенциала силы тяжести одинаковы, так что будь гора затоплена водой, на поверхность воды совпадала бы с уровенной поверхностью. Тем не менее, точки, лежащие на одной уровенной поверхности, будучи отображены на топографической карте, не будут находиться на одной горизонтали. На части (с) и (d) видно, что уровенные поверхности отклоняются друг от друга. При этом кривизна каждой следующей поверхности меньше, чем кривизна предыдущей вследствие удаления от центра масс (Земли).
   
Рисунок 3.3. точки В и С лежат на одной уровенной поверхности, но на разных расстояниях от поверхности геоида А-Д. Таким образом, имеют разные ортометрические высоты. Тем не менее, замкнутый нивелирный ход, если ввести в него ортометрические поправки – теоретически должен замкнуться (хотя нивелирование без ортометрических поправок не дает замыкания).

Теперь перейдем к рис. 3.3., на котором в увеличенном масштабе изображено подножье горы фрагмента 3.2 (с). Пусть эквипотенциальна (уровенная) поверхность, проходящая через точки А и D – это геоид. Тогда ортометрическая высота точки В – расстояние, отложенное по отвесной линии до поверхности, проходящей через А и D, то же, что и до т. С. Заметим, что расстояние от т. В до геоида – иное, чем от т. С, несмотря на то, что они принадлежат одной уровенной поверхности. Точки B и С  имеют одно и то же геопотенциальное число, а значения ортометрических высот в них  - разные, что говорит об однозначности ортометрических высот, при том, что они не образуют уровенные поверхностями.
Как измеряются ортометрические высоты? Предположим, мы последовательно измерили превышения и нашли их сумму, чтобы определить геометрическую разность высот между точками А и В, . При этом пусть разность ортометрических высот точек А и В будет . Чтобы вычислить высоту, требуется знать геопотенциальное число в точке и значение среднего ускорения силы тяжести вдоль силовой линии. Но ведь ни одну из этих величин измерить невозможно. К счастью, между геометрическим превышением   и разностью ортометрических высот   существует зависимость. Изменение ортометрической высоты равно изменению превышения плюс поправочный коэффициент известный как ортометрическая поправка (см.  Heiskanen and Moritz 1967, pp.167-168, Equations (4-31) and (4-33)):
,  (3.6)
Здесь ОС – ортометрическая поправка и она равна:
,
где g_i  - значение силы тяжести, измеренное на точках нивелирного хода,   и   - средние значения силы тяжести вдоль силовых линий точек А и В, соответственно, а   - постоянная, в качестве которой часто принимают значение нормальной силы тяжести на широте 45 градусов.
Хотя уравнение предполагается, что значение силы тяжести было измерено в каждой точке нивелирного хода, Бомфорт (1980, стр. 206) предложил располагать станции наблюдений не ближе чем 2-3 км в равнинной местности и не дальше 0,3 км в горных районах. Другие авторы рекомендуют максимальное расстояние в 15-25 км в равнинных районах и 5 км в горных районах (Strang van Hees 1992; Kao et al. 2000;
Hwang and Hsiao 2003).
Довольно большое количество научной литературы посвящено применению ортометрических поправок, в частности: Forsberg (1984), Strang van Hees (1992), Kao и соавт.. (2000), Allister and Featherstone (2001), Hwang (2002), Brunner (2002), Hwang and Hsiao (2003), Tenzer et al. (2005). В этих статьях описаны работы организаций, в которые выполняли гравиметрическую съемку. Хотя  был сделан  конструировании гравиметров прогресс не стоит на месте (Faller and Vitouchkine 2003), гравиметрические измерения, необходимые для решения уравнения 3.6. в основном не применяются на практике. Для нивелирования 1-ого класса Национальная Геодезическая Служба (NGS) использовала поправки, в которых сила тяжести являлась функцией от широты  и значения нормальной силы тяжести на наблюдаемых точках, таким образом удалось не  прибегать к гравиметрическим измерениям.
Хотя на данном этапе точно определить невозможно,  можно приблизительно вычислить ее значение, применив поправку за свободный воздух (Heiskanen and Moritz 1967, pp. 163-164) или редуцирование Пуанкаре-Прея. В последнем значение нормальной силы тяжести зависит от гипотезы о кривизне внешнего гравитационного поля. Ортометрические высоты, вычисленные, таким способом называются Ортометрическими высотами Гельмерта. NGS публикует эти высоты в каталоге  NAVD 88. Редукция Пуанкаре-Прея, которая требует последовательных приближений по сути своей сложнее и может несколько улучшить результат вычислений.

Резюмируя все сказанное можно сказать, что  ортометрические высоты:
- формируют представление о «среднем уровне мор»
- однозначны, по природе своей связи с  геопотенциальным числом и, теоретически, позволят замкнуть нивелирный ход.
- не задают уровенные поверхности по причине неоднозначности силы тяжести. Это может привести к такой ситуации, что «вода течет вверх» - если определять «верх», оперируя ортометрическими высотами.
Ортометрические высоты можно определить по результатам нивелирования, в которые введена ортометрическая поправка. Эта поправка определяется с учетом гравиметрических измерений на поверхности земли и приблизительного значения ускорения силы тяжести вдоль отвесной линии.

Геодезические  высоты и высоты над поверхностью геоида.   

Эллипсоидальные высоты  - это расстояния, отложенные по нормали к поверхности рефренц-эллипсоида. До появления GPS определить геодезические высоты точек кому-нибудь, не причастному к геодезии, было практически невозможно
Геодезические высоты практически никогда  не рассматриваются как приближение к ортометрическим: ведь  уровенные эллипсоиды не близки к геоиду. Разница между геодезической и ортометрической высотой составляет около 2 метров и более. Актуальный пример: если пилоту, совершающему посадку в аэропорту Нью-Йорка сообщают геодезические высоты вместо ортометрических, он «промахнется» на 30 м.
Геодезические высоты не связаны с гравитационным полем, они  - чисто геометрическое понятие.
Связь с ортометрическими высотами  выражается следующим образом:
  (3.7)
Здесь Н – ортометрическая высота, h – геодезическая, N – высота геоида над эллипсоидом, геоидальная высота (аномалия высоты).
Приведенное равенство не вполне корректно, поскольку не учитывается кривизна силовой линии, тем не менее, оно подходит для решения большинства практических задач. Согласно (3.7.), геодезические высоты могут быть использоваться при определения ортометрических высот, если известна аномалия высоты.
Различные модели геоида аппроксимируют значение N, так что теоретически, можно вычислять ортометрические высоты по результатам GPS-измерений. (Meyer et al. 2005, p.12).

Резюмируя вышесказанное, геодезические высоты:
- однозначны (т.к. нормальный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа)
- не привязаны к геоиду или иной уровенной поверхности
- не определяет уровенные поверхности и
- определяются при помощи GPS.

Геопотенциальное число. Динамические высоты.

Геопотенциальные числа C определяются выражением 2.5 (c.f. Heiskanen and Moritz 1967,p. 162, Equation (4-8)), которое иллюстрирует изменение потенциальной энергии между точкой на поверхности геоида и рассматриваемой точкой. Геопотенциальное число для любой точки – это разность потенциала на поверхности геоида Wo и потенциала в точке W (тут вспомним, что удалением от Земли потенциал уменьшается, так что это величина положительная). Геопотенциальные числа выражаются в единицах потенциала g.p.u., 1 g.p.u. = 1кГал/м = 1000 Гал/м (Heiskanen and Moritz 1967, p. 162), если принять силу тяжести постоянной 0,98 кГал, геопотенциальное число в g.p.u. будет практически равно ортометрической высоте в метрах. Однако, геопотенциальные числа измеряются в единицах энергии, а не в единицах длины – так что использовать их как меру высоты будет неудобно.
Можно поделить геопотенциальные числа. Разделив их на значение силы тяжести, с мы получим размерность в метрах. Такие величины называются динамическими высотами.

Разумно в качестве   использовать нормальную силу тяжести (чаще всего берут нормальную силу тяжести на широте 45 градусов). Очевидно, деление на константу не изменит сути геопотенциального числа. Так что динамические высоты, как и геопотенциальное число, однозначны, образуют уровенные поверхности и позволяют создавать замкнутые нивелирные ходы. Однако геометрически, динамические высоты некорректны, так как в двух разных точках одной уровенной поверхности дианмические высоты одинаковы, а расстояние до поверхности геоида – разное.
Измерение динамической высоты осуществляется так же, как измерение ортометрических высот: разности геометрических высот определяются из нивелирования, и к ним прибавляется поправка за учет гравитационного поля:

Здесь   - сумма измеренных превышений,   - динамическая поправка. Динамическая поправка между точками А  и В, по Heiskanen and Moritz (1967, p. 163, Equation (4-11)) вычисляется, как:

Здесь
  - это сила тяжести (переменная) в каждой точке нивелирного хода, = (45°), и   - измеренные превышения в нивелирном ходе.
Что мы можем сказать про динамические высоты? Они:
-  являются  частным от деления геопотенциального числа на константу (с целью перехода к метрической размерности).
- не являются расстояниями между поверхностями.
- однозначны по причине связи с геопотенциальным числом
- определяют уровенные поверхности
- их нельзя непосредственно измерить. Динамические высоты можно определить из нивелирования путем введения динамических поправок. Динамическая поправка требует наземных гравиметрических наблюдений и может достигать нескольких метров на удалении от мест, для которых вычислялась нормальная сила тяжести .

Нормальные высоты.

Мориц пишет о высотах, являющихся производной геопотенциального числа:
«преимущество таких высот в том, что поверхность геоида – это уровенная поверхность, суть которого – физическую и геометрическую - можно легко определить  потенциалом W. Геоид в первом приближении –  поверхность уровня моря. Вот почему использование геоида упрощает решение геодезических задач и делает связанные с ним понятия интуитивно-ясными».
Минус в том, что мы не знаем о том, как ведут себя уровенные поверхности W=const под поверхностью земли.
В 1945 году Молоденский предложил  новый тип высот –  нормальную высоту. Она основана на теории о Нормальной Земле. Такая концепция высот дала возможность выявить строгий метод определения высот, не прибегая к гипотезам. Ценой этого является «отказ от геоида». Как можно определить нормальную высоту?
 
,
здесь Н’ – нормальная высота,    - нормальная сила тяжести. Эта формула аналогична той, по которой определяются ортометрические высоты (3.3., 3.4.) но значение ее иное. Во-первых, ноль в пределах интегрирования означает вовсе не геоид, а поверхность референц-эллипсоида. Нормальные высоты зависят от выбранного референц-эллипсоида и его ориентировки. Во-вторых, нормальная сила тяжести – аналитическая функция, так что ее значение может быть вычислено, и не требуется информации об измеренной силе тяжести. В-третьих, из определения следует, что нормальная высота, равняется геодезической высоте в точке, в которой нормальный потенциал равен потенциалу в точке на поверхности земли.
Как ортометрические и динамические высоты, нормальные высоты могут быть определены и з геометрического нивелирования с учетом поправки. Поправка вводится с тем же условием, что и ортометрическая поправка:

Здесь   - среднее значение нормальной силы тяжести между точками А и В, прочие переменные определены из выражения 3.6. Нормальные поправки также зависят от измеренных значений силы тяжести , но не требуют предположений о распространении силы тяжести в теле Земли. Таким образом, все необходимые величины можно вычислить или получить из наблюдений. Как и ортометрические высоты, они не позволяют образовать уровенные  поверхности, нормальные высоты однозначны и позволяют строить замкнутые нивелирные ходы. Геометрически, нормальная высота – это расстояние от эллипсоида до теллуроида.

Резюме:
- нормальные высоты – это расстояния, отсчитанные от эллипсоида, но не до точки на поверхности земли.
- нормальные высоты однозначны
- нормальные высоты не определяют уровенную поверхность
- Нормальные высоты получают из результатов нивелировок, после введения поправки. Эта поправка требует знания гравитационного поля на поверхности земли и может быть точно вычислена.

Системы высот

Термин «система высот» относится к способу сопоставления значения высот с конкретной точкой. Предполагается, что наилучшей системой высот будет та, в которой выполнятся все следующие условия:
- высота должна быть однозначна
- точки с одинаковыми высотами должны лежать на одной уровенной поверхности.
- нивелирные ходы должны замыкаться
- поправки в измеренные величины должна быть минимальны

Таблица 3.1. Сравнительная характеристика систем высот, исходя из свойств систем высот.
Частичный перевод статьи What Does Height Really Mean? Part III by Thomas H. Meyer, Daniel R. Roman, David B. Zilkoski, 2004