Когда мы беремся за анализ геодезических измерений (например, замкнутого нивелирного хода) — необходимо ясно представлять себе, что именно будем делать.

Прежде, чем приступать к уравниванию — необходимо вычислить невязку хода.

Невязкой принято называть отличие теоретического значения какой-либо величины от ее измеренного эквивалента. Например, для замкнутого нивелирного хода невязкой будет сумма превышений. В идеале, эта сумма должна равняться нулю, однако вследствие погрешностей измерений и иных факторов, она будет равна какой-то величине. По сути, уравниванием будет называться корректировка измерений по определенному закону таким образом, чтобы невязка равнялась нулю. Однако необходимо помнить: уравнивание возможно только тогда, когда мы уверены, что погрешности измерений случайные. Почему?

Рассмотрим первый рисунок. Яблочко мишени — это истина. То значение, которое должно иметь измерение. На втором рисунке погрешность попадания велика по абсолютной величине, но эта погрешность случайна (попадания равномерно распределены вокруг яблочка). Однако на третьем и четвертом рисунке ясно отслеживается систематическое влияние на попадания в мишень (например, сбитый прицел). Если будем производить уравнивание измерений, которые подверглись систематическому влиянию — мы «размажем» невязку, однако к истинному значению измеряемой величины не приблизимся.

В геодезии принято производить уравнивание по методу наименьших квадратов (МНК). Что это означает? Что ищется такое значение уравниваемой величины, для которого сумма квадратов отклонений (каждого конкретно измеренного значения) стремится к минимуму. Графически это как раз поиск центра мишени на втором рисунке.

Сейчас уравнивание чаще всего производится в программном продукте того или иного производителя, поэтому не требуется запоминать матричных формул и выполнять вручную объемные вычисления. Однако некоторые вещи следует помнить:

Вес измерения — это относительная величина, которая характеризует степень нашего доверия этому измерению по сравнению с остальными. К примеру, есть больше оснований доверять секции нивелирного хода длиной 300 м, чем 700, ведь чем больше расстояние, тем больше вероятность погрешности. Если измерения признаны равноточными, то все веса назначаются равными единице. При анализе ходов нивелирования принято назначать веса, руководствуясь формулой p=1/L, где L – длина секции.

Рис. 21. Фрагмент геодезической сети; избыточные измерения: а - отсутствуют, б - имеются

Как происходит уравнивание? Полагаем, что уравниванию подлежат полученные приращения координат, т.е. составляющие D_x, D_y, D_z векторов D.

Коррелатное уравнивание. В этом случае выясняют, какие в сети возникают условия и вычисляют невязки. В сетях с "измеренными" приращениями координат вид условий зависит от того, как проложен векторный ход. Если векторный ход образует замкнутый контур, то векторное условие имеет вид:

∑ D_ij = 0,

где вектор D_ij соединяет пункты i и j. Эта запись означает, что суммы приращений координат по каждой координатной оси в замкнутой фигуре равны нулю. Когда ход проложен между векторами R_I e R_II двух опорных пунктов, координаты которых не подлежат исправлению, условие принимает вид:

∑ D_ij - (R_II - R_I ) = 0 .

Каждое из записанных векторных условий может быть разложено по трем координатным осям и представлено тремя скалярными формулами. Подстановка в уравнения условий составляющих векторов D_x, D_y, D_z, полученных из измерений, приведет к появлению невязок. Например, по оси Х для невязок получим:

W_X = ∑ D_xij e W_X = ∑ D_xij - (X_II - X_I) .

Аналогично получим невязки W_y и W_z. Количество невязок r равно утроенному числу избыточно измеренных векторов.

Чтобы невязки устранить, следует величины D_x, D_y, D_z исправить соответственно поправками V_x, V_y, V_z. Так, для векторного треугольника с номерами вершин 1, 2, 3 и векторами, ориентированными по часовой стрелке, условие по оси Х будет иметь вид:

V_x12 + V_x23 + V_x31 + W_x123 = 0.

Аналогичные уравнения условий будут по осям Y и Z. Для всех условий в сети получим систему уравнений

BV+W=0

Элементами векторов V и W соответственно являются искомые поправки и вычисленные невязки; матрица B содержит коэффициенты, стоящие перед поправками в условных уравнениях. Как видим, эти коэффициенты равны +1, 0 или -1.

Коррелатный способ МНК позволяет найти такие поправки V_x, V_y, V_z , что взвешенная сумма их квадратов будет минимальна при сохранении всех указанных геометрических условий. Векторы коррелат K и поправок V вычисляют по формулам:

K = - (BP^-1B^Т)^-1 W, V = P^-1B^ТK .

Для оценки точности вычисляют СКП единицы веса:

μ² = V^ТPV/r или μ² = W^T(BP^-1B^Т)^-1 W /r

В малых сетях уравнивание коррелатным способом МНК выполняется просто. Так, если сеть состоит из одного треугольника, то в треугольнике невязки распределяются по соответствующим составляющим векторов с обратным знаком пропорционально обратным весам. Если длины векторов одинаковы, то поправка в каждое приращение координат рана 1/3 соответствующей невязки, взятой с обратным знаком.

Величины невязок говорят о точности построений. Поэтому геодезическая сеть должна быть спроектирована таким образом, чтобы векторы образовывали замкнутые небольшие, максимум 8-сторонние, контуры (Филиппов, Янкуш, 1995).

Параметрическое уравнивание. В сложных сетях избыточных измерений много(рис. 3). Уравнивать эффективнее параметрическим способом МНК.

Рис. 3. Векторная геодезическая сеть; А, В - исходные пункты; 1-4 - определяемые пункты

До уравнивания вычисляют приближенные координаты определяемых пунктов. Обозначим их индексами 0: X₀, Y₀, Z₀. В результате уравнивания определяют в эти координаты поправки (параметры) δ_x, δ_y, δ_z и поправки V_x, V_y, V_z в "измеренные" приращения координат D_x, D_y, D_z.

Для поправки, например, V_xij в составляющую D_xij вектора, соединяющего пункты i и j, можно составить уравнение:

V_xij + D_xij = (X_0j + δ_xj) - (X_0i + δ_xi).

Отсюда

Vxij = - δx_i + δx_j + lx_ij,  где  lx_ij = (X_0j - X_0i) - D_xij .

Аналогичными будут уравнения поправок V_yij, V_zij. Всего таких уравнений 3n, где n

количество измеренных векторов. Координаты опорных пунктов исправлению не подлежат. Поэтому в уравнениях поправок в составляющие векторов, опирающихся на один или два исходных пункта, поправки в координаты этих пунктов должны равняться нулю. Так, для векторов, соединяющих на рис. 3 пункты A и 1, A и B, уравнения поправок, например, по оси Х будут иметь вид:

V_xA1 = - δx₁ + lx_A1, V_xAA = l_xAA.

Для всех уравнений поправок в векторно-матричной записи будем иметь:

V = Aδ + L,

где V - вектор с 3n поправками в измеренные величины, d - вектор с 3k поправками в

координаты k определяемых пунктов, L - вектор с 3n величинами l, A - матрица

коэффициентов уравнений поправок размера 3n х 3k. Ее элементами будут +1, 0 или -1.

Требование МНК, чтобы взвешенная сумма квадратов поправок V^ТPV была минимальной, приводит к условию V^ТPV = 0. Отсюда следует система нормальных уравнения для вычисления параметров δ:

A^TPAδ + A^TP L = 0 .

Для оценки точности необходимо вычислить:

•    СКП единицы веса

μ² = V^ТPV/3(n - k);

•    ковариационную матрицу поправок в координаты

Q = (A^TPA)^-1 ;

•    СКП координаты, занимающей в векторе поправок δ q-ую позицию,

σ² = μ²Q_qq,

где Q_qq - диагональный элемент на пересечении q-ых столбца и строки в матрице Q.

Совпадение значений СКП единицы веса, вычисленных до и после уравнивания, свидетельствует о правильности стратегии выбора весов. Все формулы верны и для коррелированных измерений.

По материалам http://www.gasu.ru/resour/eposobia/posob/serapinas/12.htm